![[PukiWiki]](image/pukiwiki.png "[PukiWiki]")
*利得表 [#oa40b826] ||TFT|All-D| |TFT|R|S| |All-D|T|P| *繰返し得点 [#t1d6b352] ||TFT|All-D| |TFT|TT=R|TD=S(1-w)+Pw| |All-D|DT=T(1-w)+Pw|DD=P| -ここで TT > TD が成立する． -TT - TD = R - S(1-w) - Pw = R - P + P -S(1-w) - Pw = R - P + (P - S)(1-w) > 0 -これはTTの場合は取引毎にRの利得があるのに対し，TDの場合は取引毎にRより低いSとかPしか利得が得られないことからもすぐ理解できる． -また DT >= DD が成立する． -DT - DD = T(1-w) + Pw - P = (T - P)(1-w) >= 0 -これはDDの場合は取引毎にPの利得があるのに対し，DTの場合は一回目だけはPより高いTの利得があることからもすぐ理解できる． -なお等号が成立するのは w = 1 の場合である． *つきあい確率 [#k6f59947] -ついあい確率として u, v を定義する． -u:TFTがTFTと付き合う確率 -v:All-DがTFTと付き合う確率 -このときTFTの得点は次式で表される． --TT * u + TD * (1 - u) -またAll-Dの得点は次式で表される． --DT * v + DD * (1 - v) -前項により TT > TD および DT >= DD が成立するので，u または v が増加するに従ってそれぞれの得点が増える． -すなわちTFTにとってもAll-DにとってもAll-DとつきあうよりTFTと付き合った方が有利である． *TFTがAll-Dより得点が高い場合 [#m42baf4f] -TFTがAll-Dより得点が高い場合を式で表現すると -TT * u + TD * (1 - u) > DT * v + DD * (1 - v) -u > (DT - DD) / (TT - TD) * v + (DD - TD) / (TT - TD) -(DT - DD) / (TT - TD) の分子は0以上で分母は正であるから，このグラフは水平または，右上がりのグラフになる． *侵入可能性 [#w64012e3] **1固体の場合 [#iff1f4db] -1固体のTFTがAll-Dに侵入可能な条件を求める． -1固体が侵入するのであるから u = 0 が成立する． -よって侵入可能な条件は --TD > DT * v + DD * (1 - v) --v < (TD - DD) / (DT - DD) <= 0 --v < (S - P) / ( T(1-w) + Pw - P) = (S - P) / ( (T - P) * (1 - w) ) --v * (1 - w) < (S - P) / (T - P) < 0 -つまり不可能である． **2固体の場合 [#yd749812] -2固体のTFTがAll-Dに侵入可能な条件を求める． -周囲のn人(n > 0)と付き合うと仮定する． -2固体が侵入するのであるから u = 1 / n, v = 1 / n が成立する． -よって侵入可能な条件は --TT * u + TD * (1 - u) > DT * u + DD * (1 - u) --(TT - TD - DT + DD) * u > DD - TD --(R - P + (2P - S - T)(1-w)) * u > (P - S)(1-w) -w = 1の場合は必ず成立する． -w < 1 の場合は --((R - P) / (1 - w) + 2P - S - T) * u > P - S --(R - P) / (1 - w) + 2P - S - T > (P - S) * n -2固体で侵入する場合は，割引率wが大きいほど有利である． -また付き合う人数nが少ないほどTFT同士が付き合う確率が高くなるため有利である． -これを u = 0.25(n = 4) の場合で解くと --w > 43 / 66 = 0.6515... -この条件を満足する場合2固体のTFTでall-Dに侵入できる． **2固体でv=0と見積もると [#mff30dae] -2固体のTFTがAll-Dに侵入可能な条件を求める． -アクセルロッドの近似を採用してv = 0と見積もる． -周囲のn人(n > 0)と付き合うと仮定する． -2固体が侵入するのであるから u = 1 / n が成立する． -よって侵入可能な条件は --TT * u + TD * (1 - u) > DD --(TT - TD) * u > DD - TD --(R - P + (P - S)(1-w)) * u > (P - S)(1-w) -w = 1の場合は必ず成立する． -w < 1 の場合は --((R - P) / (1 - w) + P - S) * u > P - S --(R - P) / (1 - w) + P - S > (P - S) * n -これを u = 0.25(n = 4) の場合で解くと --w > -5 / 18 -wの値に関係なく2固体のTFTでall-Dに侵入できる．
